Problemas de optimización (aplicación de derivadas)

1) Hallar el volumen máximo de una caja abierta (sin tapa) que se puede hacer con una hoja cuadrada de cartón de 24 pulgadas por lado, recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando.

Sugerencia: Haz un dibujo de una lámina cuadrada y en cada esquina n cuadrado de lado x. Por geometría se  sabe que el volumen de la caja se obtiene multiplicando el área de la base por la altura.

2) Una persona dispone de 60 metros de tela de alambre para cercar un jardín rectangular que colinda con una casa, por lo que sólo requiere cercar tres lados. Hallar las dimensiones del jardín de manera que su área sea máxima.

Sugerencia: Dibuja un rectángulo con las condiciones del problema. Llama x al ancho y largo del rectángulo. Por geometría se sabe que el perímetro del rectángulo es igual a dos veces el ancho más el largo, pues un lado colinda con la casa. Despeje y en términos de x y sustitúyala en el área del rectángulo.

3) Demostrar que el rectángulo del área máxima con perímetro P dado, es un cuadrado.

Sugerencia: Dibuja un rectángulo de ancho x y largo y, por  geometría sabemos  que en  un rectángulo su perímetro es igual a la suma de sus lados y su área es igual al producto de sus dos dimensiones.

4) Un rectángulo tiene dos vértices en el eje x y los otros dos sobre la parábola y=12-x^2 , con   y >0. Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima.

Sugerencia: Haz un dibujo que ilustre las condiciones del problema. Observa que en la ecuación de la parábola su término lineal y indica que su eje focal es Y y su término cuadrático tiene coeficiente negativo; por tanto, la parábola es cóncava hacia abajo. Llame (x, y) a un vértice del rectángulo que esta sobre la parábola.

5) Encuentra las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en un circulo de  radio r.

Sugerencia: Dibuja las condiciones del problema. Observa que en el rectángulo inscrito de base x y altura y, su diagonal es una constante igual al diámetro del circulo. Utiliza teorema de Pitágoras para expresar y en términos de x.

6) Se desea hacer una lata, con capacidad de un litro, que tenga la forma de cilindro recto circular. Hallar la razón de altura al radio de la base de manera que utilice la menor cantidad de material en la fabricación de la lata.

Sugerencia: Dibuja un cilindro recto de radio r y altura h. De su formula para calcular el volumen, considera V = 1 y despeja h en términos de r; sustituya h en la formula para calcular el área de un cilindro recto.

7) Un terreno de forma rectangular tiene un área de 2700 metros cuadrados; será cercado por una barda y se empleara una barda adicional para dividir el terreno por la mitad. El costo de la barda central es de $2 por metro lineal y el de la barba de los lados es de $3 por metro lineal. Hallar las dimensiones del terreno para que el costo de la barda sea mínimo.

Sugerencia: Dibuja un rectángulo de  ancho x y largo y. Ilustra la barda adicional. A partir del área del rectángulo, despeja y en  términos de x y sustituye  en el perímetro del rectángulo ( que incluya la barda adicional).

8) Se fabricarán cajas cerradas de volumen especifico cuya base es un rectángulo con longitud igual al triple del ancho. Encontrar las dimensiones con las cuales se gastará la menor cantidad de material.

Sugerencia: por las condiciones del problema, el volumen e un valor fijo que depende de l altura. Considere el volumen igual a la unidad, es decir, V=1. Despeje h en términos de x y sustituya en formula del área total de la caja.

9)Resuelve el problema anterior si la caja no tiene tapa.

Sugerencia: Por las condiciones del problema, el volumen es un valor fijo que depende de la altura. 

Considere el volumen igual a la unidad, es decir V=1. Despeja h en términos de x y sustitúyela en la formula para obtener el área lateral de la caja más su base.

10) Un depósito rectangular abierto tendrá una base cuadrada y su volumen será de 125 metros cúbicos. El costo por metro cuadrado para la base es de $8 y para los lados de $4. Encontrar las dimensiones del depósito para que el costo del material sea el mínimo.

Sugerencia: Ilustra las condiciones del problema . Expresa el volumen y despeja y en términos de x. Encuentra la ecuación del costo a partir de l área de la base y área lateral, en ella sustituye y.

11)¿Cuáles son las dimensiones más económicas de un depósito cilíndrico para agua, sin tapa, si el costo de las paredes laterales, por decímetro cuadrado equivale a 2/3 del costo del fondo?

Sugerencia: Ilustra las condiciones del problema. A partir de el área del cilindro establece el costo tomando en cuanta la equivalencia que señala.

12) Una página tendrá un área impresa de 24 pulgadas cuadradas, un margen  de 1.5 pulgadas en las partes superior e inferior en un margen de 1 pulgada en los lados. ¿Cuáles son las dimensiones de la página más pequeña que cumple con las condiciones establecidas?

Sugerencia: Ilustra las condiciones del problema. Llama x  a la base y ala altura del área impresa. Del área impresa despeja y en términos de x y sustitúyela en el área de la pagina.

13) La suma de dos magnitudes variables es la constante k. ¿Cuándo es máximo el producto P de esas magnitudes?

Sugerencia: Utiliza x y y para expresar la suma y el producto de las variables. Despeja y en la suma y sustitúyela en el producto.

14) Un barco B se halla a 75 millas al este de otro barco A. Si B navega hacia el oeste 12 millas por hora y A hacia el sur 9 millas por hora, hallar cuando se encontrarán más próximos ambos barcos.

Sugerencia: Ilustra las condiciones del problema. Llama t al tiempo en el que los barcos estarán a una distancia mínima. Expresa la distancia hacia el oeste como 75-12t y la distancia hacia el sur como 9t. Utiliza el teorema de Pitágoras para relacionar las dos distancias.

15) Una ventana tiene la forma de un rectángulo, terminado por un semicírculo. Si el perímetro total de la ventana es de 9 metros, hallar las dimensiones que ha de tener para que deje pasar la máxima cantidad de luz.

Sugerencia: Ilustra las condiciones del problema. Observa la relación que existe entre la base x de la ventana y el radio r del semicírculo. A partir del perímetro de la ventana despeja su altura h en términos de x y sustitúyela en el área de la ventana.

16) Se quiere bordear dos corrales rectangulares idénticos, cada uno de 900 metros cuadrados de área. ¿Cuánto deben medir dos lados consecutivos de un corral para que se necesite la mínima cantidad de barda?

Sugerencia: Ilustra las condiciones del problema. Utiliza las variables x y y para representar las condiciones del terreno. A partir del área, despeja y en términos de x y sustitúyela en el perímetro que incluye la barda divisora.

17) En el problema anterior la barda divisora cuesta $1 por mero lineal mientras que la barba exterior cuesta $2 por metro lineal. ¿Qué dimensiones se refieren para que la barda sea menos costosa?

Sugerencia: A partir del área, despeja y en términos de x y sustitúyela en el perímetro de la figura. Para expresar el costo de la barda exterior e inerior se multiplica cada termino de ellas por su respectivo costo.

18)Una caja sin tapa de 36000 pulgadas cubicas tiene una base rectangular cuya longitud es el doble de su ancho. Hallar las dimensiones de la base para que se ocupe la menor cantidad de material en su fabricación.

Sugerencia: Haz un dibujo en el que utilices x y y para el ancho y largo de la base y h para la altura de la caja. A partir del volumen despeja la altura en términos de la base y sustitúyela para calcular el área de la base y lateral de la caja.

19) Se construirá una cisterna de base cuadrada para contener 12 00 pies cúbicos de agua. Si la tapa metálica cuesta el doble que los lados y la base de concreto, ¿Cuáles son las dimensiones mas económicas de la cisterna?

Sugerencia: Dibuja una cisterna de base cuadrada de lado x y altura h. A partir del volumen despeja h en términos de la base y sustitúyela en el área total de la figura. Para el calculo dl costo considera el área total de la figura y que la tapa cuesta el doble.