Ecuación de la parábola
Se llama parábola al "lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz."
La ecuación de la parábola tiene solamente un témino elevado al cuadrado y otro término lineal. La ecuación de la parábola es una ecuación de segundo grado.
Ax2 + Bx + Cy + D = 0
Ecuación de una parábola horizontal en su forma general.
Ay2 + Bx + Cy + D = 0
Ecuación de una parábola vertical en su forma general.
Elementos de la parábola
Vértice (V): Punto de la parábola que coincide con el eje focal
Eje de simetría : Línea recta que divide simétricamente a la parábola en dos brazos y pasa por el vértice.
Foco (F): Punto fijo de referencia, que no pertenece a la parábola y que se ubica en el eje focal al interior de los brazos de la misma y a una distancia p del vértice.
Directriz (d): Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p del vértice y fuera de los brazos de la parábola.
Distancia focal (p): Parámetro que indica la magnitud de la distancia entre vértice y foco, así como entre vértice y directriz (ambas distancias son iguales).
Lado recto (LR): Cuerda focal que es perpendicular al eje focal.
En el Plano Cartesiano una parábola puede tener su vértice en cualquier par de coordenadas y puede estar orientada hacia arriba, hacia abajo o hacia la izquierda o la derecha.
La ecuación de la parábola que tiene su vértice esta en el origen coordenadas
(0,0) del Plano Cartesiano, tiene cuatro posibilidades de ecuación.
(0,0) del Plano Cartesiano, tiene cuatro posibilidades de ecuación.
Ecuaciones de la parábola con vértice fuera del origen
La ecuación de la parábola que tiene su vértice fuera del origen coordenadas (h,k) tiene cuatro posibilidades de ecuación .
Información importante:
- El parámetro p señala la distancia entre el foco y el vértice, que es igual a la distancia entre el vértice y la directriz.
- Si en la ecuación de la parábola la incógnita x es la elevada al cuadrado, significa que la curvatura de la misma se abre hacia arriba o hacia abajo.
- Ahora, si en la ecuación de la parábola la incógnita y es la elevada al cuadrado, la curvatura de la misma será hacia la derecha o hacia la izquierda.
- La longitud del lado recto (LR) es igual a 4 veces el parámetro LR=4p
Ejemplo 1: (oprime aquí para verlo en forma interactiva) Hallar el vértice, foco, ecuación de la directriz y dibujar la gráfica de y2=4x. Solución: La ecuación esta en forma estándar por lo tanto es una parábola con eje horizontal que abre hacia la derecha Se busca el valor de P que es igual a 1. Después se busca el vértice, foco, directriz y se dibuja la gráfica. |
Vértice: V=(0, 0)
Foco: F=(1,0)
Directriz: x=-1
Eje horizontal: y=0
Lado recto: 4p=4
Foco: F=(1,0)
Directriz: x=-1
Eje horizontal: y=0
Lado recto: 4p=4
Ejemplo 2: (oprime aquí para verlo en forma interactiva
Hallar el vértice, foco, ecuación de la directriz y dibujar la gráfica de x2=-8y.
Solución:
La ecuación esta en forma estándar por lo tanto es una parábola con eje horizontal que abre hacia la derecha.
Se busca el valor de P que es igual a 2. Después se busca el vértice, foco, directriz y se dibuja la gráfica.
Foco: F=(0,-2)
Directriz: y=2
Eje vertical: x=0
Lado recto: 4p=8
Ejemplo 3: (oprime aquí para verlo en forma interactiva)
Hallar el vértice, foco, ecuación de la directriz y dibujar la gráfica de (x-1)2=-12(y+1).
Solución:
La ecuación esta en forma estándar por lo tanto es una parábola con eje vertical que abre hacia abajo.
Se busca el valor de P que es igual a 3. Después se busca el vértice, foco, directriz y se dibuja la gráfica.
Finalmente se traslada la gráfica una unidad a la derecha y otra hacia abajo
Vértice: V=(1, -1)
Se busca el valor de P que es igual a 3. Después se busca el vértice, foco, directriz y se dibuja la gráfica.
Finalmente se traslada la gráfica una unidad a la derecha y otra hacia abajo
Vértice: V=(1, -1)
Foco: F=(1,-4)
Directriz: y=2
Eje vertical: x=1
Lado recto: 4p=12
Ejemplo 4
Obtener la ecuación, el foco y la directriz de la parábola con vértice en el origen y que contiene al punto B(3, 4), además su eje de simetría (o eje focal) es paralelo al eje X.
Solución:
El punto B (3, 4) nos indica que
X = 3
Y = 4
Sustituyendo las coordenadas del punto B en la ecuación
Entonces la ecuación será
Y el Foco estará en el punto (4/3, 0)
Vemos que 4/3 corresponde al valor de p, y como la directriz está a la misma distancia de p respecto al vértice, pero hacia el lado contrario, entonces, la directriz será:
Ejemplo 5
Una parábola tiene vértice en el punto (–4, 2), y su directriz es y = 5, encuentre su ecuación y exprésela en la forma general.
Desarrollo
Analizando las coordenadas del vértice y la posición de la directriz, se puede concluir que:
a) La directriz es paralela al eje de las abscisas, por lo tanto la posición de la parábola es vertical.
b) La directriz corta al eje de las ordenadas en un valor (5) mayor que la ordenada del vértice (2), por lo tanto la parábola se abre hacia abajo (sentido negativo del eje de las Y).
c) Las coordenadas del vértice no corresponden con las del origen.
d) Dado lo anterior, se trata entonces de una parábola cuya ecuación ordinaria o canónica es del tipo:
Una parábola tiene vértice en el punto (–4, 2), y su directriz es y = 5, encuentre su ecuación y exprésela en la forma general.
(x – h)2 = –4p (y – k)
De las coordenadas del vértice se obtiene:
h = –4
k = 2
Se obtiene p por diferencia entre las ordenadas del vértice y de la directriz, resultando:
p = 5 – 2
p = 3
Sustituyendo valores en la ecuación ordinaria, resulta:
(x – h)2 = –4p(y – k)
(x – (–4))2 = –4 (3) (y – (+2))
(x + 4)2 = –12(y – 2)
(x + 4)2 = –12y + 24
Desarrollando el binomio al cuadrado
(x + 4) (x + 4) = x2 + 8x + 16
x2 + 8x + 16 = +12y – 24
Simplificando e igualando a cero la ecuación se tiene:
x2 + 8x + 16 + 12y – 24 = 0
x2 + 8x + 12y – 8 = 0
Que es la ecuación buscada.
Ejemplo 6
Dada la ecuación de la parábola
y2 + 8y – 6x + 4 = 0,
encuentre las coordenadas del vértice y del foco, así como la ecuación de su directriz.
Una forma de obtener los elementos solicitados consiste en reducir la ecuación general anterior llevándola a la forma ordinaria o canónica.
Como primer paso, se separan a diferentes miembros la variable al cuadrado (y2) y la variable lineal (6x) junto con el término independiente (–4)
y2 + 8y = 6x – 4
Con la intención de factorizar se procede a la adición (en ambos miembros de la ecuación) de un término adecuado para que se complete el trinomio cuadrado perfecto:
En este caso ese número es 16, que se obtiene dividiendo a la mitad el valor numérico del factor lineal (el 8 de 8y) y el resultado elevado al cuadrado:
8/2 = 4 y 42 = 16 (8 dividido 2 es igual a 4 y 4 al cuadrado es 16)
Y 16 lo sumamos a ambos lados de la ecuación:
y2 + 8y + 16 = 6x – 4 + 16
Simplificando:
y2 + 8y + 16 = 6x + 12
Factorizando resulta:
El trinomio cuadrado y2 + 8y + 16 que se convierte en cuadrado de binomio (y + 4)2
y2 + 8y + 16 = (y + 4)2
Y el segundo miembro queda
6x + 12 = 6(x + 2)
Entonces, la ecuación queda así:
(y + 4)2 = 6(x + 2)
Que es la ecuación ordinaria de una parábola con vértice fuera del origen, horizontal, y que se abre hacia la derecha, en el sentido positivo del eje de las abscisas, según lo visto anteriormente.
(y – k)2 = 4p(x – h)
Con lo cual se puede determinar que:
k = – 4
h = – 2
Por lo tanto, el vértice tiene las coordenadas V (–2, –4)
Además:
Si 4p = 6
Entonces
p = 6/4 = 3/2
Considerando la orientación ya señalada de la parábola y el valor de p, es posible determinar la posición del foco, ya que éste estará alineado a la derecha del vértice a una distancia p desde h, y con la misma ordenada k, resultando:
F(h + p, k)
F(–2 + 3/2, –4)
F(–1/2, –4)
La ecuación de la directriz se obtiene de x – h + p = 0
Resultando:
x – (– 2) + (3/2) = 0
x + 4/2 + 3/2 = 0
x + 7/2 = 0
x = –7/2
Ejemplo 7
Veamos otro ejemplo, tenemos la ecuación desarrollada
Siempre que una variable esta elevada al cuadrado se trata de una parábola.
Para determinar si corresponde a una parábola, debe semejarse a:
Siempre que una variable esta elevada al cuadrado se trata de una parábola.
Para determinar si corresponde a una parábola, debe semejarse a:
(x – h)2 = 4p(y – k)
que es la ecuación de una parábola de eje vertical, abierta hacia arriba.
Para llevar la ecuación desarrollada a la forma (x – h)2 = 4 p (y – k) usaremos el método de completar el trinomio, para llevarlo a cuadrado perfecto:
3x2 – 4x – 6y + 8 = 0
Empezamos separando las variables en cada miembro :
Pasar los términos sin "x" al lado derecho de la ecuación
3x2 – 4x = 6y – 8
dividir toda la ecuación por el coeficiente de la variable cuadrática, en este caso es 3, para quedar
x2 – 4/3 x = 2y – 8/3
Obtener la mitad de 4/3
(4/3) / 2 = 2/3
Y elevarla al cuadrado
(2/3)2 = 4/9
Sumar 4/9 en ambos lados de la ecuación (de la parábola)
x2 – 4/3 x + 4/9 = 2y – 8/3 + 4/9
Factorizar y simplificar
(x – 2/3)2 = 2y – 20/9
Factorizar por 2 en el lado derecho
(x – 2/3)2 = 2 (y – 10/9)
Entonces
h = 2/3
k = 10/9
4p = 2 ------> p = 2/4 = 1/2
Fuentes Internet:
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